1️⃣ EXPONENTIELLES WACHSTUM – Alles wird immer schneller größer!
Was bedeutet exponentielles Wachstum?
Einfache Erklärung: Etwas verdoppelt sich (oder vervielfacht sich) immer wieder in derselben Zeit. Am Anfang merkst du wenig davon – dann explodiert es plötzlich!
Praktisches Beispiel: Bakterien im Glas
Stell dir vor, du legst 1 Bakterium in ein Glas. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl:
- Stunde 0: 1 Bakterium
- Stunde 1: 2 Bakterien (verdoppelt)
- Stunde 2: 4 Bakterien (wieder verdoppelt)
- Stunde 3: 8 Bakterien
- Stunde 4: 16 Bakterien
- Stunde 5: 32 Bakterien
- Stunde 6: 64 Bakterien
- Stunde 7: 128 Bakterien
Nach nur 7 Stunden sind es 128! Das ist exponentielles Wachstum.
Tabelle: Bakterien-Verdopplung
| Stunde | Anzahl Bakterien | Rechnung |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 2⁰ = 1 |
| 1 | 2 | 2¹ = 2 |
| 2 | 4 | 2² = 4 |
| 3 | 8 | 2³ = 8 |
| 4 | 16 | 2⁴ = 16 |
| 5 | 32 | 2⁵ = 32 |
| 6 | 64 | 2⁶ = 64 |
| 7 | 128 | 2⁷ = 128 |
| 8 | 256 | 2⁸ = 256 |
| 9 | 512 | 2⁹ = 512 |
| 10 | 1024 | 2¹⁰ = 1024 |
Graph des exponentiellen Wachstums
Alltagsbeispiele für exponentielles Wachstum
- Bankkonto mit Zinsen: Du legst 1000 € auf die Bank. Mit 5% Zinsen wächst dein Geld exponentiell. Das ist Zinseszins!
- Virenausbreitung: 1 infizierte Person steckt 2 weitere an. Nach 20 Tagen könnten über 1 Million Menschen infiziert sein!
- Social Media: 1 Follower → teilt mit 2 → die teilen mit je 2 → viral!
- Bevölkerungswachstum: Mehr Menschen = mehr Babys. Das Wachstum beschleunigt sich ständig.
- Pilzbefall: Schimmel im Badezimmer verdoppelt sich täglich!
Die mathematische Regel: Die Exponentialfunktion
Was bedeuten die Buchstaben?
- a = der Anfangswert (z.B. 1 Bakterium beim Start)
- b = der Wachstumsfaktor (z.B. 2, weil sich alles verdoppelt)
- x = die Zeit (z.B. Stunden, Tage, Jahre)
- f(x) = das Ergebnis nach x Zeiteinheiten
2️⃣ LOGARITHMUS – Die Rückwärts-Frage
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus ist die Umkehrung von Potenzen. Während die Potenz fragt „Was kommt raus?", fragt der Logarithmus „Wie oft?"
Vorwärts und Rückwärts verstehen
Vorwärts-Frage (Potenz):
Wenn ich die Zahl 2 dreimal mit sich selbst multipliziere, was kommt heraus?
Antwort: 2 × 2 × 2 = 8 → Mathematisch: 2³ = 8
Rückwärts-Frage (Logarithmus):
Wie oft muss ich die Zahl 2 mit sich selbst multiplizieren, um 8 zu bekommen?
Antwort: 3-mal → Mathematisch: log₂(8) = 3
Die Regel: Potenz ↔ Logarithmus
Wenn bx = y, dann logb(y) = x
Konkrete Beispiele
| Potenz | Logarithmus | Bedeutung |
|---|---|---|
| 2¹ = 2 | log₂(2) = 1 | 2 einmal ist 2 |
| 2² = 4 | log₂(4) = 2 | 2 zweimal (2×2) ist 4 |
| 2³ = 8 | log₂(8) = 3 | 2 dreimal (2×2×2) ist 8 |
| 2⁴ = 16 | log₂(16) = 4 | 2 viermal ist 16 |
| 10² = 100 | log₁₀(100) = 2 | 10 zweimal ist 100 |
| 10³ = 1000 | log₁₀(1000) = 3 | 10 dreimal ist 1000 |
Praktische Beispiele für den Logarithmus im Alltag
Beispiel 1: Geldanlage – Wann verdoppelt sich mein Geld?
Du legst 1000 € auf die Bank. Jedes Jahr verdient dein Geld 7% dazu.
Nach wie vielen Jahren hast du 2000 € (verdoppelt)?
Mit Logarithmus: log₁.₀₇(2) ≈ 10.2 Jahre
Nach etwa 10 Jahren hast du dein Geld verdoppelt!
Beispiel 2: Corona-Ausbreitung
Jeder infizierte Mensch steckt durchschnittlich 2 weitere an.
Nach wie vielen Tagen sind 1 Million Menschen infiziert?
Mit Logarithmus: log₂(1.000.000) ≈ 20 Tage
In etwa 3 Wochen könnte eine Million Menschen infiziert sein!
- „Logarithmus = die Rückwärts-Frage!"
- „Potenz sagt: Was kommt raus? Logarithmus sagt: Wie oft?"
- „log₂(8) = 3 weil 2³ = 8"
3️⃣ FUNKTIONEN – Regeln für Zahlenpaare
Was ist eine Funktion?
Einfache Erklärung: Eine Funktion ist eine Regel, die jeder Eingangszahl (wir nennen sie x) genau eine Ausgangszahl (wir nennen sie f(x) oder y) zuordnet.
Beispiele aus dem Alltag:
- Eingabe: Wie viele Pizzen? → Ausgabe: Wie viel kostet es?
- Eingabe: Wie lange hast du trainiert? → Ausgabe: Wie fit bist du?
- Eingabe: Wie alt ist der Baum? → Ausgabe: Wie hoch ist er?
Lineare Funktionen – Gerade Linien
- m = die Steigung (wie steil die Linie ist)
- b = der y-Achsen-Abschnitt (wo die Linie die y-Achse schneidet)
Praktisches Beispiel: Pizza-Preise
Eine Pizzeria verlangt:
- Liefergebühr: 3 €
- Pro Pizza: 9 €
Formel: f(x) = 9x + 3
| Anzahl Pizzas (x) | Preis f(x) (€) |
|---|---|
| 0 | 3 (nur Gebühr) |
| 1 | 12 |
| 2 | 21 |
| 3 | 30 |
| 4 | 39 |
| 5 | 48 |
Quadratische Funktionen – Parabeln
| x | f(x) = x² |
|---|---|
| -4 | 16 |
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Wichtige Punkte bei Parabeln
- Scheitelpunkt: Der tiefste (oder höchste) Punkt. Bei f(x) = x² ist er bei (0|0).
- Symmetrie: Die Parabel ist symmetrisch – links und rechts sind Spiegelbilder.
- Öffnung: f(x) = x² öffnet nach oben (U-förmig). f(x) = -x² öffnet nach unten.
Nullstellen – Wo schneidet die Kurve die x-Achse?
Beispiel: f(x) = x² - 4
Nullstellen finden heißt: x² - 4 = 0 lösen.
x² = 4 → x = 2 oder x = -2
Die Nullstellen sind also bei x = 2 und x = -2.
4️⃣ WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG – Wie groß ist die Chance?
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Einfache Erklärung: Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass etwas passiert. Sie liegt immer zwischen 0 und 1 (oder 0% und 100%):
- 0 oder 0% = wird bestimmt NICHT passieren (unmöglich)
- 0.5 oder 50% = 50-50 Chance
- 1 oder 100% = wird bestimmt passieren (sicher)
Die Formel für Wahrscheinlichkeit
Praktische Beispiele: Münze und Würfel
Münze werfen
Eine faire Münze hat 2 Seiten: Kopf oder Zahl.
P(Kopf) = 1/2 = 0.5 = 50%
P(Zahl) = 1/2 = 0.5 = 50%
Würfel werfen
| Ereignis | Anzahl günstiger Fälle | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Eine 6 würfeln | 1 | 1/6 ≈ 16.7% |
| Eine ungerade Zahl (1, 3, 5) | 3 | 3/6 = 50% |
| Eine Zahl größer als 3 (4, 5, 6) | 3 | 3/6 = 50% |
| Eine 7 würfeln | 0 | 0/6 = 0% (unmöglich!) |
Das Baumdiagramm – Mehrere Versuche hintereinander
Beispiel: Zweimal hintereinander eine Münze werfen
Es gibt 4 mögliche Ausgänge:
- KK (Kopf, Kopf)
- KZ (Kopf, Zahl)
- ZK (Zahl, Kopf)
- ZZ (Zahl, Zahl)
Wahrscheinlichkeit für jeden Weg:
P(KK) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu werfen?
Das sind die Fälle KK, KZ, ZK = 3 von 4.
Antwort: P = 3/4 = 75%
Vierfeldertafel – Zwei Dinge gleichzeitig
Beispiel: 100 Schüler – Geschlecht und Lieblingsfach
| Mag Mathe | Mag Mathe nicht | Summe | |
|---|---|---|---|
| Jungen | 20 | 15 | 35 |
| Mädchen | 25 | 40 | 65 |
| Summe | 45 | 55 | 100 |
Fragen:
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Schüler Junge ist?
P(Junge) = 35/100 = 35% - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Schüler Mathe mag?
P(Mathe) = 45/100 = 45% - Ein Schüler ist ein Junge. Wie groß ist die Chance, dass er Mathe mag?
P(Mathe|Junge) = 20/35 ≈ 57%
Unabhängige Ereignisse – Sie beeinflussen sich nicht
Beispiel: Zweimal würfeln, beide Male eine 6:
P(6 und 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 2.8%
Abhängige Ereignisse – Sie beeinflussen sich
Beispiel: Aus einer Urne Kugeln ziehen, ohne zurücklegen
In der Urne sind 10 Kugeln: 6 rote, 4 blaue.
Erste Ziehung: P(rot) = 6/10 = 60%
Nach dieser Ziehung sind noch 9 Kugeln in der Urne!
Zweite Ziehung (wenn erste rot war): P(rot) = 5/9 ≈ 55.6%
Wahrscheinlichkeit, beide Male rot zu ziehen:
P(rot und rot) = 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3 ≈ 33.3%
5️⃣ ÜBUNGSAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Aufgabe 1: Exponentielles Wachstum
Aufgabe: 1 Bakterium verdoppelt sich stündlich. Wie viele Bakterien sind es nach 7 Stunden?
Lösung:
f(x) = 1 · 2x
f(7) = 27 = 128 Bakterien
Antwort: Nach 7 Stunden sind es 128 Bakterien.
Aufgabe 2: Logarithmus
Aufgabe: log₂(32) = ?
Lösung:
Frage: Welche Zahl hoch 2 macht 32?
2x = 32
25 = 32
Also: log₂(32) = 5
Antwort: 5
Aufgabe 3: Nullstellen finden
Aufgabe: Finde die Nullstellen von f(x) = x² - 9
Lösung:
x² - 9 = 0
x² = 9
x = 3 oder x = -3
Antwort: Die Nullstellen sind bei x = 3 und x = -3.
Aufgabe 4: Lineare Funktion
Aufgabe: Ein Taxi verlangt 2 € Grundgebühr + 0.50 € pro km. Wie viel kostet eine 10 km lange Fahrt?
Lösung:
f(x) = 0.50x + 2
f(10) = 0.50 · 10 + 2 = 5 + 2 = 7 €
Antwort: Die Fahrt kostet 7 €.
Aufgabe 5: Wahrscheinlichkeit Würfel
Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu werfen und eine ungerade Zahl zu bekommen?
Lösung:
Ungerade Zahlen auf dem Würfel: 1, 3, 5 = 3 Möglichkeiten
Alle Möglichkeiten: 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6 Möglichkeiten
P = 3/6 = 50%
Antwort: 50% (oder 1/2 oder 0.5)
Aufgabe 6: Abhängige Ereignisse
Aufgabe: In einem Sack sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst ohne zurück zu legen zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Male rot zu ziehen?
Lösung:
Erste Ziehung: P(rot) = 5/8
Nach dieser Ziehung sind noch 7 Kugeln in dem Sack (4 rote, 3 blaue).
Zweite Ziehung: P(rot) = 4/7
Beide Male rot: P = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 35.7%
Antwort: Etwa 35.7% (oder 5/14)
6️⃣ LERNPLAN FÜR DIE 1. SCHULAUFGABE
Was wird abgefragt?
- Exponentielles Wachstum: Tabellen ausfüllen, Wachstumsfaktor bestimmen, mit Formel rechnen
- Logarithmus: Logarithmusaufgaben lösen, Umkehrung verstehen
- Funktionen: Nullstellen finden, Graphen zeichnen, Wertetabellen ausfüllen
- Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, Baumdiagramme zeichnen, Vierfeldertafeln ausfüllen
Lernplan für 2 Wochen vor der Schulaufgabe
WOCHE 1 – Grundlagen festigen
- Montag (30 Min): Exponentielles Wachstum – Tabellen ausfüllen, 5 Aufgaben rechnen
- Mittwoch (30 Min): Logarithmus – Potenz ↔ Logarithmus verstehen
- Freitag (30 Min): Funktionen – Graphen zeichnen, 3 Funktionen skizzieren
WOCHE 2 – Üben und Vertiefen
- Montag (45 Min): Wahrscheinlichkeit – Würfel- und Münz-Aufgaben, 8 Aufgaben rechnen
- Mittwoch (45 Min): Baumdiagramme und Vierfeldertafeln – selbst zeichnen und ausfüllen
- Freitag (60 Min): Alle vier Themen gemischt üben
- Samstag (60 Min): Schwierige Aufgaben nochmal üben, Lücken füllen
Super-Tipps zum Lernen
- ✏️ Zeichne alles selbst: Graphen auf Millimeterpapier, Baumdiagramme mit Bleistift. Das Gehirn merkt sich Visuelles besser!
- 🗣️ Laut erklären: Erkläre einen Freund oder deiner Familie, was du gelernt hast.
- ⏰ Kleine Portionen: Besser 3x pro Woche 30 Minuten als 1x 3 Stunden.
- 🎨 Mit Farben arbeiten: Nutze verschiedene Farben für verschiedene Dinge.
- 🍕 Alltagsbeispiele: Denke an Pizza-Preise, Geld auf dem Konto, Würfel spielen.
- 📚 Lambacher Schweizer nutzen: Lies die Beispiele, mach alle Übungen.
- 💪 Aufgaben machen: Der beste Weg ist üben, üben, üben!
- ✨ Fehler sind gut: Wenn du Fehler machst, ist das super – du lernst daraus!
Wichtige Formeln – zum Auswendiglernen
f(x) = a · bx
Wenn bx = y, dann logb(y) = x
f(x) = mx + b
f(x) = ax² + bx + c
P(A) = günstige / alle
P(A und B) = P(A) × P(B)